Франсиско (29.4.1824, Барселона, - 29.11.1901, Мадрид), испанский политический деятель, революционер-демократ. Родился в семье мелкого торговца. По образованию юрист. В 1851 опубликовал "Историю живописи Испании", которая была запрещена церковью и предана анафеме. В том же году вышли его "Этюды о средних веках", за которые П.-и-М. был отлучен от церкви. В начале 1850-х гг. П.-и-М. примкнул к республиканцам и стал одним из лидеров Демократической партии. Принимал активное участие в Революции 1854-56. В 1866 П.-и-М. эмигрировал во Францию, где познакомился с работами П. Ж. Прудона; позднее перевёл их на испанский язык. В 1869, после начала испанской Революции 1868-74 и избрания депутатов Учредительных кортесов, П.-и-М. возвратился в Испанию. В феврале 1873 был назначен министром внутренних дел республиканского правительства, а в июне избран президентом республики. Не желая прибегать к вооружённому подавлению антиправительственных восстаний, П.-и-М. 18 июля 1873 подал в отставку. После падения республики и восстановления монархии (1874) неоднократно избирался депутатом кортесов. В своих работах П.-и-М. выступал как убеждённый сторонник демократической революции. При этом П.-и-М. не видел классового характера ожидавшейся им революции, утверждая, что её непосредственная цель - создание политических условий для постепенной эмансипации трудящихся классов. Важнейшей задачей революции он считал ликвидацию наёмного труда и арендной системы в сельском хозяйстве и передачу земли в руки тех, кто её обрабатывает. Поддерживая идею создания кооперативных ассоциаций и прямого товарообмена через народный банк, П.-и-М. допускал сохранение частной собственности. Он полагал, что действие демократических институтов (всеобщие выборы, свобода ассоциаций и др.) обеспечит и при наличии частной собственности на средства производства ликвидацию эксплуатации и превращение государства в выразителя интересов народа. Идеальной формой такого государства П.-и-М. считал федеральную республику. Несмотря на утопичность общественно-политических взглядов П.-и-М., его программа демократических преобразований отражала реальные проблемы, стоявшие перед испанским обществом.

Ф. Пи-и-Маргаль.

π, буква греческого алфавита, применяемая в математике для обозначения определённого иррационального числа, именно - отношения длины окружности к диаметру. Это обозначение (вероятно, от греч. περιφερεια окружность, периферия) стало общепринятым после работы Л. Эйлера, относящейся к 1736, однако впервые оно было употреблено английским математиком У. Джонсом (1706). Как и всякое иррациональное число, π представляется бесконечной непериодической десятичной дробью: π = 3,141592653589793238462643...

Нужды практических расчётов, относящихся к окружности и круглым телам, заставили уже в глубокой древности искать для π приближений с помощью рациональных чисел. Древнеегипетские вычисления (2-е тысячелетие до нашей эры) площади круга соответствуют приближённому значению π ≈ 3 или, более точному, π ≈ (¹⁶/₉)² = 3,16049... Архимед (3 в. до н. э.), сравнивая окружность с правильными вписанными и описанными многоугольниками, нашёл, что π заключается между

= 3,14084... и = 3,14285

(последним из этих приближений до сих пор пользуются при расчётах, не требующих большой точности). Китайский математик Цзу Чун-чжи (2-я половина 5 в.) получил для π приближение 3,1415927, вновь найденное в Европе значительно позднее (16 в.); это приближение даёт ошибку лишь в 7-м десятичном знаке. Поиски более точного приближения π продолжались и в дальнейшем, например аль-Каши (1-я половина 15 в.) вычислил 17 десятичных знаков π, голландский математик Лудольф ван Цейлен (начало 17 в.) - 32 десятичных знака. Для практических надобностей, однако, достаточно знать несколько десятичных знаков числа π и простейших выражений, содержащих π; в справочниках обычно даются приближённые значения для π, 1/π и π², lgπ с 4-7 десятичными знаками.

Число π появляется не только при решении геометрических задач. Со времени Ф. Виета (16 в.) разыскание пределов некоторых арифметических последовательностей, составляемых по простым законам, приводило к этому же числу π. Примером может служить ряд Лейбница (1673-74):

Этот ряд сходится очень медленно. Существуют значительно быстрее сходящиеся ряды, пригодные для вычисления π. Так, например, формула

π = 24 arc tg + 8 arc tg + 4 arc tg

где значения арктангенсов с помощью ряда

arc tg x =

была использована (1962) для вычисления с помощью ЭВМ ста тысяч десятичных знаков числа π. Такого рода вычисления приобретают интерес в связи с понятием случайных и псевдослучайных чисел (См. Случайные и псевдослучайные числа). Статистическая обработка указанной совокупности знаков π показывает, что она обладает многими чертами случайной последовательности.

Возможность чисто аналитического определения числа π имеет принципиальное значение и для геометрии. Так, в неевклидовой геометрии π также участвует в некоторых формулах, но уже не как отношение длины окружности к диаметру (это отношение в неевклидовой геометрии вовсе не является постоянным). Средствами анализа, среди которых решающую роль сыграла замечательная формула Эйлера e^2πi= 1 (е - основание натуральных логарифмов, см. Неперово число; ), была окончательно выяснена и арифметическая природа числа π.

В конце 18 в. И. Ламберт и А. Лежандр установили, что π - число иррациональное, а в 1882 немецкий математик Ф. Линдеман доказал, что оно трансцендентно, т. е. не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Теорема Линдемана окончательно установила невозможность решения задачи о квадратуре круга (См. Квадратура круга) с помощью циркуля и линейки.

Лит.: О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса..., пер. с нем., 3 изд., М.- Л., 1936; Shanks D., Wrench J. W., Calculation of π to 100 000 decimals, "Mathematics of Computation", 1962, v. 16, № 77.